1
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Алгебра является одним из опорных курсов основного общего образования:
она обеспечивает изучение других дисциплин, как естественнонаучного, так и
гуманитарного циклов, её освоение необходимо для продолжения образования и в
повседневной жизни. Развитие у обучающихся научных представлений о происхождении
и сущности алгебраических абстракций, способе отражения математической наукой
явлений и процессов в природе и обществе, роли математического моделирования в
научном познании и в практике способствует формированию научного мировоззрения и
качеств мышления, необходимых для адаптации в современном цифровом обществе.
Изучение алгебры обеспечивает развитие умения наблюдать, сравнивать, находить
закономерности, требует критичности мышления, способности аргументированно
обосновывать свои действия и выводы, формулировать утверждения. Освоение курса
алгебры обеспечивает развитие логического мышления обучающихся: они используют
дедуктивные и индуктивные рассуждения, обобщение и конкретизацию, абстрагирование
и аналогию. Обучение алгебре предполагает значительный объём самостоятельной
деятельности обучающихся, поэтому самостоятельное решение задач является
реализацией деятельностного принципа обучения.
В структуре программы учебного курса «Алгебра» для основного общего
образования основное место занимают содержательно-методические линии: «Числа и
вычисления», «Алгебраические выражения», «Уравнения и неравенства», «Функции».
Каждая из этих содержательно-методических линий развивается на протяжении трёх лет
изучения курса, взаимодействуя с другими его линиями. В ходе изучения учебного курса
обучающимся приходится логически рассуждать, использовать теоретико-множественный
язык. В связи с этим в программу учебного курса «Алгебра» включены некоторые основы
логики, представленные во всех основных разделах математического образования и
способствующие овладению обучающимися основ универсального математического
языка. Содержательной и структурной особенностью учебного курса «Алгебра» является
его интегрированный характер.
Содержание линии «Числа и вычисления» служит основой для дальнейшего
изучения математики, способствует развитию у обучающихся логического мышления,
формированию умения пользоваться алгоритмами, а также приобретению практических
навыков, необходимых для повседневной жизни. Развитие понятия о числе на уровне
основного общего образования связано с рациональными и иррациональными числами,
формированием представлений о действительном числе. Завершение освоения числовой
линии отнесено к среднему общему образованию.
Содержание двух алгебраических линий – «Алгебраические выражения» и
«Уравнения и
неравенства» способствует
формированию
у обучающихся
математического аппарата, необходимого для решения задач математики, смежных
предметов и практико-ориентированных задач. На уровне основного общего образования
учебный материал группируется вокруг рациональных выражений. Алгебра
демонстрирует значение математики как языка для построения математических моделей,
описания процессов и явлений реального мира. В задачи обучения алгебре входят также
дальнейшее развитие алгоритмического мышления, необходимого, в частности, для
освоения курса информатики, и овладение навыками дедуктивных рассуждений.
Преобразование символьных форм способствует развитию воображения, способностей к
математическому творчеству.
2
Содержание функционально-графической линии нацелено на получение
обучающимися знаний о функциях как важнейшей математической модели для описания
и исследования разнообразных процессов и явлений в природе и обществе. Изучение
материала способствует развитию у обучающихся умения использовать различные
выразительные средства языка математики – словесные, символические, графические,
вносит вклад в формирование представлений о роли математики в развитии цивилизации
и культуры.
Согласно учебному плану в 7–9 классах изучается учебный курс «Алгебра»,
который включает следующие основные разделы содержания: «Числа и вычисления»,
«Алгебраические выражения», «Уравнения и неравенства», «Функции».
На изучение учебного курса «Алгебра» отводится в 9 классе – 102 часа (3 часа в
неделю).
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
9 КЛАСС
Числа и вычисления
Рациональные числа, иррациональные числа, конечные и бесконечные десятичные
дроби. Множество действительных чисел, действительные числа как бесконечные
десятичные дроби. Взаимно однозначное соответствие между множеством
действительных чисел и координатной прямой.
Сравнение действительных чисел, арифметические действия с действительными
числами.
Размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем
мире.
Приближённое значение величины, точность приближения. Округление чисел.
Прикидка и оценка результатов вычислений.
Уравнения и неравенства
Линейное уравнение. Решение уравнений, сводящихся к линейным.
Квадратное уравнение. Решение уравнений, сводящихся к квадратным.
Биквадратное уравнение. Примеры решения уравнений третьей и четвёртой степеней
разложением на множители.
Решение
дробно-рациональных
уравнений.
Решение
текстовых
задач
алгебраическим методом.
Уравнение с двумя переменными и его график. Решение систем двух линейных
уравнений с двумя переменными. Решение систем двух уравнений, одно из которых
линейное, а другое – второй степени. Графическая интерпретация системы уравнений с
двумя переменными.
Решение текстовых задач алгебраическим способом.
Числовые неравенства и их свойства.
Решение линейных неравенств с одной переменной. Решение систем линейных
неравенств с одной переменной. Квадратные неравенства. Графическая интерпретация
неравенств и систем неравенств с двумя переменными.
Функции
3
Квадратичная функция, её график и свойства. Парабола, координаты вершины
параболы, ось симметрии параболы.
Графики функций: y = kx, y = kx + b, y = k/x, y = x3, y = √x, y = |x| , и их свойства.
Числовые последовательности и прогрессии
Понятие числовой последовательности. Задание последовательности рекуррентной
формулой и формулой n-го члена.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы n-го члена
арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов.
Изображение членов арифметической и геометрической прогрессий точками на
координатной плоскости. Линейный и экспоненциальный рост. Сложные проценты.
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОГО
КУРСА «АЛГЕБРА» НА УРОВНЕ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Личностные результаты освоения программы учебного курса «Алгебра»
характеризуются:
1) патриотическое воспитание:
проявлением интереса к прошлому и настоящему российской математики,
ценностным отношением к достижениям российских математиков и российской
математической школы, к использованию этих достижений в других науках и прикладных
сферах;
2) гражданское и духовно-нравственное воспитание:
готовностью к выполнению обязанностей гражданина и реализации его прав,
представлением о математических основах функционирования различных структур,
явлений, процедур гражданского общества (например, выборы, опросы), готовностью к
обсуждению этических проблем, связанных с практическим применением достижений
науки, осознанием важности морально-этических принципов в деятельности учёного;
3) трудовое воспитание:
установкой на активное участие в решении практических задач математической
направленности, осознанием важности математического образования на протяжении всей
жизни для успешной профессиональной деятельности и развитием необходимых умений,
осознанным выбором и построением индивидуальной траектории образования и
жизненных планов с учётом личных интересов и общественных потребностей;
4) эстетическое воспитание:
способностью к эмоциональному и эстетическому восприятию математических
объектов, задач, решений, рассуждений, умению видеть математические закономерности в
искусстве;
5) ценности научного познания:
ориентацией в деятельности на современную систему научных представлений об
основных закономерностях развития человека, природы и общества, пониманием
математической науки как сферы человеческой деятельности, этапов её развития и
значимости для развития цивилизации, овладением языком математики и математической
культурой как средством познания мира, овладением простейшими навыками
исследовательской деятельности;
6)
физическое
воспитание,
формирование
культуры
здоровья
и
эмоционального благополучия:
4
готовностью применять математические знания в интересах своего здоровья,
ведения здорового образа жизни (здоровое питание, сбалансированный режим занятий и
отдыха, регулярная физическая активность), сформированностью навыка рефлексии,
признанием своего права на ошибку и такого же права другого человека;
7) экологическое воспитание:
ориентацией на применение математических знаний для решения задач в области
сохранности окружающей среды, планирования поступков и оценки их возможных
последствий для окружающей среды, осознанием глобального характера экологических
проблем и путей их решения;
8) адаптация к изменяющимся условиям социальной и природной среды:
готовностью к действиям в условиях неопределённости, повышению уровня своей
компетентности через практическую деятельность, в том числе умение учиться у других
людей, приобретать в совместной деятельности новые знания, навыки и компетенции из
опыта других;
необходимостью в формировании новых знаний, в том числе формулировать идеи,
понятия, гипотезы об объектах и явлениях, в том числе ранее неизвестных, осознавать
дефициты собственных знаний и компетентностей, планировать своё развитие;
способностью осознавать стрессовую ситуацию, воспринимать стрессовую
ситуацию как вызов, требующий контрмер, корректировать принимаемые решения и
действия, формулировать и оценивать риски и последствия, формировать опыт.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Познавательные универсальные учебные действия
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических объектов,
понятий, отношений между понятиями, формулировать определения понятий,
устанавливать существенный признак классификации, основания для обобщения
и сравнения, критерии проводимого анализа;
воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и
отрицательные, единичные, частные и общие, условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в фактах,
данных, наблюдениях и утверждениях, предлагать критерии для выявления
закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных
умозаключений, умозаключений по аналогии;
разбирать доказательства математических утверждений (прямые и от противного),
проводить самостоятельно несложные доказательства математических фактов,
выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры, обосновывать
собственные рассуждения;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов
решения, выбирать наиболее подходящий с учётом самостоятельно выделенных
критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать
вопросы
как
исследовательский
инструмент
познания,
формулировать
вопросы,
фиксирующие
противоречие,
проблему,
самостоятельно устанавливать искомое и данное, формировать гипотезу,
аргументировать свою позицию, мнение;
проводить по самостоятельно составленному плану несложный эксперимент,
небольшое исследование по установлению особенностей математического
объекта, зависимостей объектов между собой;
5
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам проведённого
наблюдения, исследования, оценивать достоверность полученных результатов,
выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать предположения о
его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять недостаточность и избыточность информации, данных, необходимых для
решения задачи;
выбирать, анализировать, систематизировать и интерпретировать информацию
различных видов и форм представления;
выбирать форму представления информации и иллюстрировать решаемые задачи
схемами, диаграммами, иной графикой и их комбинациями;
оценивать надёжность информации по критериям, предложенным учителем или
сформулированным самостоятельно.
Коммуникативные универсальные учебные действия:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями
общения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных и
письменных текстах, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать
полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы, проблемы,
решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения,
сопоставлять свои суждения с суждениями других участников диалога,
обнаруживать различие и сходство позиций, в корректной форме формулировать
разногласия, свои возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования, проекта,
самостоятельно выбирать формат выступления с учётом задач презентации и
особенностей аудитории;
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной работы при
решении учебных математических задач;
принимать цель совместной деятельности, планировать организацию совместной
работы, распределять виды работ, договариваться, обсуждать процесс и
результат работы, обобщать мнения нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнениями, мозговые
штурмы и другие), выполнять свою часть работы и координировать свои
действия с другими членами команды, оценивать качество своего вклада в общий
продукт по критериям, сформулированным участниками взаимодействия.
Регулятивные универсальные учебные действия
Самоорганизация:
самостоятельно составлять план, алгоритм решения задачи (или его часть),
выбирать способ решения с учётом имеющихся ресурсов и собственных
возможностей, аргументировать и корректировать варианты решений с учётом
новой информации.
Самоконтроль, эмоциональный интеллект:
владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения
математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи, вносить
коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств, найденных ошибок,
выявленных трудностей;
6
оценивать соответствие результата деятельности поставленной цели и условиям,
объяснять причины достижения или недостижения цели, находить ошибку,
давать оценку приобретённому опыту.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
К концу обучения в 9 классе обучающийся получит следующие предметные
результаты:
Числа и вычисления
Сравнивать и упорядочивать рациональные и иррациональные числа.
Выполнять арифметические действия с рациональными числами, сочетая устные и
письменные приёмы, выполнять вычисления с иррациональными числами.
Находить значения степеней с целыми показателями и корней, вычислять значения
числовых выражений.
Округлять действительные числа, выполнять прикидку результата вычислений,
оценку числовых выражений.
Уравнения и неравенства
Решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к ним,
простейшие дробно-рациональные уравнения.
Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными и системы двух
уравнений, в которых одно уравнение не является линейным.
Решать текстовые задачи алгебраическим способом с помощью составления
уравнения или системы двух уравнений с двумя переменными.
Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с
применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или
система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее).
Решать линейные неравенства, квадратные неравенства, изображать решение
неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов.
Решать системы линейных неравенств, системы неравенств, включающие
квадратное неравенство, изображать решение системы неравенств на числовой прямой,
записывать решение с помощью символов.
Использовать неравенства при решении различных задач.
Функции
Распознавать функции изученных видов. Показывать схематически расположение на
координатной плоскости графиков функций вида: y = kx, y = kx + b, y = k/x, y = ax2 + bx +
c, y = x3, y = √x, y = |x|, в зависимости от значений коэффициентов, описывать свойства
функций.
Строить и изображать схематически графики квадратичных функций, описывать
свойства квадратичных функций по их графикам.
Распознавать квадратичную функцию по формуле, приводить примеры
квадратичных функций из реальной жизни, физики, геометрии.
Числовые последовательности и прогрессии
Распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии при разных способах
задания.
Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена арифметической и
геометрической прогрессий, суммы первых n членов.
Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости.
Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе задачи, из
реальной жизни (с использованием калькулятора, цифровых тех
7
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
№
п/
п
Наименование
разделов и тем
программы
Функции
Уравнения и
неравенства.
2
Уравнения с одной
переменной
Уравнения и
3
неравенства. Системы
уравнений
Уравнения и
4
неравенства.
Неравенства
Числа и вычисления.
5
Действительные числа
Повторение,
обобщение,
6
систематизация
знаний
Числовые
7
последовательности
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО
ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ
1
Количество часов
Всего
Контрольн
ые работы
Практическ
ие работы
Электронные
(цифровые)
образовательные
ресурсы
1
Библиотека ЦОК
16
1
14
1
14
1
1
Библиотека ЦОК
16
1
1
Библиотека ЦОК
Библиотека ЦОК
Библиотека ЦОК
9
18
1
Библиотека ЦОК
15
1
Библиотека ЦОК
102
6
3
8
КАЛЕНДАРНО -ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
№
п/
п
1
2.
3.
4.
5.
6.
Кол-во
часов
Тема урока
Дата проведения
16ч
Функции
Повторение основных понятий алгебры из
курса 8 класса.
Функции и их свойства
Область определения и область значения.
Свойства функций.
Свойства функций.
Функция у = ах 2 , её график и свойства.
1
01/09
1
1
1
1
1
02/09
7/09
08/09
09/09
14/09
7.
Графики функций у = ах 2 + n, у = а(х – m) 2
1
15/09
8.
9.
Графики функций у = ах + n, у = а(х – m)
Построение графиков квадратичной функции.
Парабола, координаты вершины параболы,
ось симметрии параболы
Построение графиков квадратичной функции.
Построение графиков квадратичной функции.
Построение графиков квадратичной функции.
1
1
16/09
21/09
1
22/09
1
1
23/09
28/09
29/09
10.
11.
12
13.
2
2
14
Графики функций:
y=k/x, y=x³, y=vx, y=|x|
y = kx , y = kx + b,
1
30/09
15
Графики функций:
y=k/x, y=x³, y=vx, y=|x|
y = kx 2 , y = kx + b,
1
05/10
1
06/10
1
07/10
16
17
18
19
20
21.
2
Графики функций: y = kx 2 , y = kx + b, y=k/x,
y=x³, y=vx, y=|x|
Контрольная работа № 1 по теме "Функции
и их свойства"
Уравнения и неравенства. Уравнения с
одной переменной.
Целое уравнение и его корни.
Линейное уравнение. Решение уравнений,
сводящихся к линейным.
Квадратное уравнение. Решение уравнений,
сводящихся к квадратным
Квадратное уравнение. Решение уравнений,
сводящихся к квадратным
14ч
1
12/10
1
13/10
1
14/10
1
19/10
22
Биквадратные уравнения
1
20/10
23.
24.
Биквадратные уравнения
Примеры решения уравнений третьей и
1
1
21/10
9
25.
26
27
28.
29.
30.
31
32.
33
34.
35.
36.
37.
38.
39
40.
41
42.
43
44
45
46
четвёртой степеней разложением на
множители
Примеры решения уравнений третьей и
четвёртой степеней разложением на
множители
Решение дробно-рациональных уравнений
Решение дробно-рациональных уравнений
Решение текстовых задач алгебраическим
методом
Решение текстовых задач алгебраическим
методом
Решение текстовых задач алгебраическим
методом
Контрольная работа № 2 по теме
"Уравнения с одной переменной"
Системы уравнений.
Уравнение с двумя переменными и его график
Уравнение с двумя переменными и его график
Система двух линейных уравнений с двумя
переменными и её решение
Система двух линейных уравнений с двумя
переменными и её решение
Система двух линейных уравнений с двумя
переменными и её решение
Система двух линейных уравнений с двумя
переменными и её решение
Решение систем двух уравнений, одно из
которых линейное, а другое — второй степени
Решение систем двух уравнений, одно из
которых линейное, а другое — второй степени
Решение систем двух уравнений, одно из
которых линейное, а другое — второй степени
Решение систем двух уравнений, одно из
которых линейное, а другое — второй степени
Графическая интерпретация системы
уравнений с двумя переменными.
Практическая работа.
Контрольная работа №3 по теме "Системы
уравнений"
Решение текстовых задач алгебраическим
способом
Решение текстовых задач алгебраическим
способом
Неравенства
Числовые неравенства и их свойства
1
1
1
1
1
1
1
14ч
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
16ч
1
10
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
Числовые неравенства и их свойства
Линейные неравенства с одной переменной и
их решение
Линейные неравенства с одной переменной и
их решение
Линейные неравенства с одной переменной и
их решение
Системы линейных неравенств с одной
переменной и их решение
Системы линейных неравенств с одной
переменной и их решение
Системы линейных неравенств с одной
переменной и их решение
Квадратные неравенства и их решение
Квадратные неравенства и их решение
Квадратные неравенства и их решение
Квадратные неравенства и их решение
Квадратные неравенства и их решение
Графическая интерпретация неравенств и
систем неравенств с двумя переменными.
Практическая работа.
Графическая интерпретация неравенств и
систем неравенств с двумя переменными
Контрольная работа №4 по теме
"Неравенства"
Числовые последовательности.
Понятие числовой последовательности
Задание последовательности рекуррентной
формулой и формулой n-го члена
Арифметическая и геометрическая
прогрессии
Арифметическая и геометрическая
прогрессии
Формулы n-го члена арифметической и
геометрической прогрессий, суммы первых n
членов
Формулы n-го члена арифметической и
геометрической прогрессий, суммы первых n
членов
Формулы n-го члена арифметической и
геометрической прогрессий, суммы первых n
членов
Формулы n-го члена арифметической и
геометрической прогрессий, суммы первых n
членов
Формулы n-го члена арифметической и
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
15ч
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77
78
79
80
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
геометрической прогрессий, суммы первых n
членов
Изображение членов арифметической и
геометрической прогрессий точками на
координатной плоскости
Изображение членов арифметической и
геометрической прогрессий точками на
координатной плоскости
Линейный и экспоненциальный рост
Сложные проценты
Сложные проценты
Контрольная работа № 5 по теме "Числовые
последовательности"
Числа и вычисления. Действительные
числа.
Запись, сравнение, действия с
действительными числами, числовая прямая
Проценты, отношения, пропорции
Округление, приближение, оценка
Прикидка и оценка результатов вычислений
Рациональные числа, иррациональные числа,
конечные и бесконечные десятичные дроби.
Множество действительных чисел;
действительные числа как бесконечные
десятичные дроби
Взаимно однозначное соответствие между
множеством действительных чисел и
множеством точек координатной прямой
Сравнение действительных чисел,
арифметические действия с действительными
числами
Приближённое значение величины, точность
приближения. Прикидка и оценка результатов
вычислений.
Повторение, обобщение и систематизация
знаний.
Повторение, обобщение и систематизация
знаний. Решение текстовых задач
арифметическим способом
Повторение, обобщение и систематизация
знаний. Решение текстовых задач
арифметическим способом
Повторение, обобщение и систематизация
знаний. Решение текстовых задач
арифметическим способом
Повторение, обобщение и систематизация
1
1
1
1
1
1
9ч
1
1
1
1
1
1
1
1
1
18ч
1
1
1
1
12
90.
91
92.
93.
94
95.
96.
97
98
знаний. Решение текстовых задач
арифметическим способом
Повторение, обобщение и систематизация
знаний. Решение текстовых задач
арифметическим способом
Повторение, обобщение и систематизация
знаний. Преобразование алгебраических
выражений, допустимые значения
Повторение, обобщение и систематизация
знаний. Преобразование алгебраических
выражений, допустимые значения
Повторение, обобщение и систематизация
знаний. Преобразование алгебраических
выражений, допустимые значения
Повторение, обобщение и систематизация
знаний. Преобразование алгебраических
выражений, допустимые значения
Повторение, обобщение и систематизация
знаний. Функции: построение, свойства
изученных функций
Повторение, обобщение и систематизация
знаний. Функции: построение, свойства
изученных функций
Повторение, обобщение и систематизация
знаний. Графическое решение уравнений и их
систем
Повторение, обобщение и систематизация
знаний. Графическое решение уравнений и их
систем
Итоговая контрольная работа
Повторение, обобщение и систематизация
100 знаний. Функции: построение, свойства
изученных функций
Повторение, обобщение и систематизация
101. знаний. Функции: построение, свойства
изученных функций
102.
Обобщение и систематизация знаний
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ
99.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
102
6
13
ПРОВЕРЯЕМЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
Код
проверяемого
результата
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
3
3.1
3.2
3.3
3.4
Проверяемые предметные результаты освоения основной
образовательной программы основного общего образования
Числа и вычисления
Сравнивать и упорядочивать рациональные и иррациональные числа
Выполнять арифметические действия с рациональными числами,
сочетая устные и письменные приёмы, выполнять вычисления с
иррациональными числами
Находить значения степеней с целыми показателями и корней,
вычислять значения числовых выражений
Округлять действительные числа, выполнять прикидку результата
вычислений, оценку числовых выражений
Уравнения и неравенства
Решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к
ним, простейшие дробно-рациональные уравнения
Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными и
системы двух уравнений, в которых одно уравнение не является
линейным
Решать текстовые задачи алгебраическим способом с помощью
составления уравнения или системы двух уравнений с двумя
переменными
Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в
том числе с применением графических представлений (например,
устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения,
если имеет, то сколько)
Решать линейные неравенства, квадратные неравенства, изображать
решение неравенств на числовой прямой, записывать решение с
помощью символов
Решать системы линейных неравенств, системы неравенств,
включающие квадратное неравенство, изображать решение системы
неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью
символов
Использовать неравенства при решении различных задач
Функции
Распознавать функции изученных видов. Показывать схематически
расположение на координатной плоскости графиков функций вида:
y=kx, y=kx+b, y=k/x, y=ax²+bx+c, в зависимости от значений
коэффициентов, описывать свойства функций
Показывать схематически расположение на координатной плоскости
графиков функций вида y = ٧x, y = |х| и описывать свойства функций
Строить и изображать схематически графики квадратичных функций,
описывать свойства квадратичных функций по их графикам
Распознавать квадратичную функцию по формуле, приводить примеры
14
4
4.1
4.2
4.3
4.4
квадратичных функций из реальной жизни, физики, геометрии
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии при
разных способах задания
Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена
арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов
Изображать члены последовательности точками на координатной
плоскости
Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том
числе задачи из реальной жизни (с использованием калькулятора,
цифровых технологий)
15
ПРОВЕРЯЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СОДЕРЖАНИЯ
Код
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
3
3.1
3.2
3.3
3.4
4
4.1
Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления
Рациональные числа, иррациональные числа, конечные и бесконечные
десятичные дроби
Множество действительных чисел, действительные числа как бесконечные
десятичные дроби. Взаимно однозначное соответствие между множеством
действительных чисел и координатной прямой. Сравнение действительных
чисел
Арифметические действия с действительными числами
Измерения, приближения, оценки. Размеры объектов окружающего мира,
длительность процессов в окружающем мире. Приближённое значение
величины, точность приближения. Округление чисел. Прикидка и оценка
результатов вычислений
Уравнения и неравенства
Уравнения с одной переменной
Линейное уравнение. Решение уравнений, сводящихся к линейным
Квадратное уравнение. Решение уравнений, сводящихся к квадратным
Биквадратное уравнение. Примеры решения уравнений третьей и
четвёртой степеней разложением на множители
Решение дробно-рациональных уравнений
Системы уравнений
Уравнение с двумя переменными и его график
Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными
Решение систем двух уравнений, одно из которых линейное, а другое –
второй степени
Графическая интерпретация системы уравнений с двумя переменными
Решение текстовых задач алгебраическим способом
Числовые неравенства и их свойства
Решение линейных неравенств с одной переменной
Решение систем линейных неравенств с одной переменной
Квадратные неравенства
Графическая интерпретация неравенств и систем неравенств с двумя
переменными
Функции
Квадратичная функция, её график и свойства. Парабола, координаты
вершины параболы, ось симметрии параболы
Графики функций y=kx, y=kx+b и их свойства
Графики функций y=k/x, y = x³ и их свойства
Графики функций , и их свойства
Числовые последовательности
Определение и способы задания числовых последовательностей. Задание
последовательности рекуррентной формулой и формулой n-го члена
16
4.2
4.3
4.4
4.5
Арифметическая прогрессия. Формулы n-го члена арифметической
прогрессии, суммы первых n членов
Геометрическая прогрессия. Формулы n-го члена геометрической
прогрессии, суммы первых n членов
Изображение членов арифметической и геометрической прогрессий
точками на координатной плоскости. Линейный и экспоненциальный рост
Сложные проценты
17
ПРОВЕРЯЕМЫЕ НА ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ
ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ОСНОВНОГО
ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
Код
проверяемого
требования
1
2
3
4
5
6
Проверяемые требования к предметным результатам
освоения основной образовательной программы основного
общего образования на основе ФГОС
Умение оперировать понятиями: множество, подмножество,
операции над множествами; умение оперировать понятиями:
граф, связный граф, дерево, цикл, применять их при решении
задач; умение использовать графическое представление множеств
для описания реальных процессов и явлений, при решении задач
из других учебных предметов
Умение оперировать понятиями: определение, аксиома, теорема,
доказательство; умение распознавать истинные и ложные
высказывания, приводить примеры и контрпримеры, строить
высказывания и отрицания высказываний
Умение оперировать понятиями: натуральное число, простое и
составное число, делимость натуральных чисел, признаки
делимости, целое число, модуль числа, обыкновенная дробь и
десятичная дробь, стандартный вид числа, рациональное число,
иррациональное число, арифметический квадратный корень;
умение выполнять действия с числами, сравнивать и
упорядочивать числа, представлять числа на координатной
прямой, округлять числа; умение делать прикидку и оценку
результата вычислений
Умение оперировать понятиями: степень с целым показателем,
арифметический квадратный корень, многочлен, алгебраическая
дробь, тождество; знакомство с корнем натуральной степени
больше единицы; умение выполнять расчёты по формулам,
преобразования целых, дробно-рациональных выражений и
выражений с корнями, разложение многочлена на множители, в
том числе с использованием формул разности квадратов и
квадрата суммы и разности
Умение оперировать понятиями: числовое равенство, уравнение с
одной переменной, числовое неравенство, неравенство с
переменной; умение решать линейные и квадратные уравнения,
дробно-рациональные уравнения с одной переменной, системы
двух линейных уравнений, линейные неравенства и их системы,
квадратные и дробно-рациональные неравенства с одной
переменной, в том числе при решении задач из других предметов
и практических задач; умение использовать координатную
прямую и координатную плоскость для изображения решений
уравнений, неравенств и систем
Умение оперировать понятиями: функция, график функции, нули
функции,
промежутки
знакопостоянства,
промежутки
возрастания, убывания, наибольшее и наименьшее значения
функции;
умение
оперировать
понятиями:
прямая
18
7
8
9
10
11
12
13
пропорциональность, линейная функция, квадратичная функция,
обратная пропорциональность, парабола, гипербола; умение
строить графики функций, использовать графики для определения
свойств процессов и зависимостей, для решения задач из других
учебных предметов и реальной жизни; умение выражать
формулами зависимости между величинами
Умение
оперировать
понятиями:
последовательность,
арифметическая
и
геометрическая
прогрессии;
умение
использовать свойства последовательностей, формулы суммы и
общего члена при решении задач, в том числе задач из других
учебных предметов и реальной жизни
Умение решать задачи разных типов (в том числе на проценты,
доли и части, движение, работу, цену товаров и стоимость
покупок и услуг, налоги, задачи из области управления личными и
семейными финансами); умение составлять выражения,
уравнения, неравенства и системы по условию задачи,
исследовать полученное решение и оценивать правдоподобность
полученных результатов
Умение оперировать понятиями: фигура, точка, отрезок, прямая,
луч, ломаная, угол, многоугольник, треугольник, равнобедренный
и равносторонний треугольники, прямоугольный треугольник,
медиана, биссектриса и высота треугольника, четырёхугольник,
параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция;
окружность, круг, касательная; знакомство с пространственными
фигурами; умение решать задачи, в том числе из повседневной
жизни, на нахождение геометрических величин с применением
изученных свойств фигур и фактов
Умение оперировать понятиями: равенство фигур, равенство
треугольников; параллельность и перпендикулярность прямых,
угол между прямыми, перпендикуляр, наклонная, проекция,
подобие фигур, подобные треугольники, симметрия относительно
точки и прямой; умение распознавать равенство, симметрию и
подобие фигур, параллельность и перпендикулярность прямых в
окружающем мире
Умение оперировать понятиями: длина, расстояние, угол
(величина угла, синус и косинус угла треугольника), площадь;
умение оценивать размеры предметов и объектов в окружающем
мире; умение применять формулы периметра и площади
многоугольников, длины окружности и площади круга, объема
прямоугольного параллелепипеда; умение применять признаки
равенства треугольников, теорему о сумме углов треугольника,
теорему Пифагора, тригонометрические соотношения для
вычисления длин, расстояний, площадей
Умение изображать плоские фигуры и их комбинации,
пространственные фигуры от руки, с помощью чертёжных
инструментов и электронных средств по текстовому или
символьному описанию
Умение оперировать понятиями: прямоугольная система
координат; координаты точки, вектор, сумма векторов,
19
14
15
16
произведение вектора на число, скалярное произведение векторов;
умение использовать векторы и координаты для представления
данных и решения задач, в том числе из других учебных
предметов и реальной жизни
Умение оперировать понятиями: столбиковые и круговые
диаграммы, таблицы, среднее арифметическое, медиана,
наибольшее и наименьшее значения, размах числового набора;
умение извлекать, интерпретировать и преобразовывать
информацию, представленную в таблицах и на диаграммах,
отражающую свойства и характеристики реальных процессов и
явлений; умение распознавать изменчивые величины в
окружающем мире
Умение оперировать понятиями: случайный опыт (случайный
эксперимент), элементарное событие (элементарный исход)
случайного опыта, случайное событие, вероятность события;
умение находить вероятности случайных событий в опытах с
равновозможными элементарными событиями; умение решать
задачи методом организованного перебора и с использованием
правила умножения; умение оценивать вероятности реальных
событий и явлений, понимать роль практически достоверных и
маловероятных событий в окружающем мире и в жизни;
знакомство с понятием независимых событий; знакомство с
законом больших чисел и его ролью в массовых явлениях
Умение выбирать подходящий изученный метод для решения
задачи, приводить примеры математических закономерностей в
природе и жизни, распознавать проявление законов математики в
искусстве, описывать отдельные выдающиеся результаты,
полученные в ходе развития математики как науки, приводить
примеры математических открытий и их авторов в отечественной
и всемирной истории
20
ПЕРЕЧЕНЬ ЭЛЕМЕНТОВ СОДЕРЖАНИЯ, ПРОВЕРЯЕМЫХ НА ОГЭ ПО
МАТЕМАТИКЕ
Код
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3
3.1
3.2
3.3
4
4.1
4.2
5
5.1.
6
6.1
6.2
7
7.1
Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
Обыкновенные
и
десятичные
дроби,
проценты,
бесконечные
периодические дроби
Рациональные числа. Арифметические операции с рациональными
числами
Действительные числа. Арифметические операции с действительными
числами
Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и оценка
результата вычислений
Алгебраические выражения
Буквенные выражения (выражения с переменными)
Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем.
Свойства степени
Многочлены
Алгебраическая дробь
Арифметический
корень
натуральной
степени.
Действия
с
арифметическими корнями натуральной степени
Уравнения и неравенства
Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности
уравнений
Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности
неравенств
Решение текстовых задач
Числовые последовательности
Последовательности, способы задания последовательностей
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных
процентов
Функции
Функция, способы задания функции. График функции. Область
определения и множество значений функции. Нули функции. Промежутки
знакопостоянства. Промежутки монотонности функции. Максимумы и
минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на
промежутке
Координаты на прямой и плоскости
Координатная прямая
Декартовы координаты на плоскости
Геометрия
Геометрические фигуры и их свойства
21
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
8
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Треугольник
Многоугольники
Окружность и круг
Измерение геометрических величин
Векторы на плоскости
Вероятность и статистика
Описательная статистика
Вероятность
Комбинаторика
Множества
Графы
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО
ПРОЦЕССА
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧЕНИКА
Макарычев, Ю. Н. Алгебра: учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений / Ю.
Н. Макарычев, К. И. Нешков, Н. Г. Миндюк, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского. М.: Просвещение, 2022 г/
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
1) Изучение алгебры. 7-9 классы. Пособие для учителя. Авторы: Ю. Н. Макарычев, Н. Г.
Миндюк, С. Б. Суворова, И. С. Шлыкова. Москва. Просвещение, 2011 г.
2) ) Дидактические материалы по алгебре. 9 класс / Л. И. Звавич, Л. В. Кузнецова, С. Б.
Суворов. - М.: Просвещение, 2014 г.
3 4) Дидактические материалы по алгебре. 9 класс / Л. И. Звавич, Л. В. Кузнецова, С. Б.
Суворов. - М.: Просвещение, 20
22
23
